Question

如图，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB.

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；

（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径.

Answer 1

解：（1）证明：连接OB.∵OA=OB，∴∠A=∠OBE.

∵CE=CB，∴∠CEB=∠EBC，

∵∠AED =∠EBC，∴∠AED = ∠EBC，

又∵CD⊥OA ∴∠A+∠AED=∠OBA+∠EBC=90°，

∴BC是⊙O的切线；

（2）∵CD垂直平分OA，∴OF=AF，

又OA=OF，∴OA=OF=AF，∴∠O=60°，∴∠ABF=30°；

（3）作CG⊥BE于G，则∠A=∠ECG.

∵CE=CB，BD=10，∴EG=BG=5，

∵sin∠ECG=sinA=，∴CE=13，CG=12.又CD=15，∴DE=2.

∵△ADE∽△CGE，∴，即，

∴AD=，∴OA=，即⊙O的半径是.