Question

【题目】已知：如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=3，动点P从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点Q从点O出发，沿x轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点P、点Q的运动时间为t（s）．

（1）当t=1s时，求经过点O，P，A三点的抛物线的解析式；

（2）当t=2s时，求tan∠QPA的值；

（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，求t（s）的值；

（4）连接CQ，当点P，Q在运动过程中，记△CQP与矩形OABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）t=3s；（4）．

【解析】

（1）可求得P点坐标，由O、P、A的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）当t=2s时，可知P与点B重合，在Rt△ABQ中可求得tan∠QPA的值；

（3）用t可表示出BP和AQ的长，由△PBM∽△QAM可得到关于t的方程，可求得t的值；

（4）当点Q在线段OA上时，S=S△CPQ；当点Q在线段OA上，且点P在线段CB的延长线上时，由相似三角形的性质可用t表示出AM的长，由S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ，可求得S与t的关系式；当点Q在OA的延长线上时，设CQ交AB于点M，利用△AQM∽△BCM可用t表示出AM，从而可表示出BM，S=S△CBM，可求得答案．

（1）当t=1s时，则CP=2，∵OC=3，四边形OABC是矩形，∴P（2，3），且A（4，0），

∵抛物线过原点O，∴可设抛物线解析式为，

∴，解得：，

∴过O、P、A三点的抛物线的解析式为；

（2）当t=2s时，则CP=2×2=4=BC，即点P与点B重合，OQ=2，如图1，

∴AQ=OA﹣OQ=4﹣2=2，且AP=OC=3，

∴tan∠QPA==；

（3）当线段PQ与线段AB相交于点M，则可知点Q在线段OA上，点P在线段CB的延长线上，如图2，

则CP=2t，OQ=t，∴BP=PC﹣CB=2t﹣4，AQ=OA﹣OQ=4﹣t，

∵PC∥OA，∴△PBM∽△QAM，

∴，且BM=2AM，

∴ =2，解得t=3，

∴当线段PQ与线段AB相交于点M，且BM=2AM时，t为3s；

（4）当0≤t≤2时，如图3，由题意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

当2＜t≤4时，设PQ交AB于点M，

如图4，由题意可知PC=2t，OQ=t，则BP=2t﹣4，AQ=4﹣t，

同（3）可得=，

∴BM=AM，∴3﹣AM=AM，解得AM=，

∴S=S四边形BCQM=S矩形OABC﹣S△COQ﹣S△AMQ=3×4﹣×t×3﹣×（4﹣t）×=24﹣﹣3t；

当t＞4时，设CQ与AB交于点M，如图5，由题意可知OQ=t，AQ=t﹣4，

∵AB∥OC，∴，即，解得AM=，

∴BM=3﹣=，∴S=S△BCM=×4×=；

综上可知：．