Question

如图，在正方形ABCD中，点P是BC边上一点（不与点B，C重合），连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，PE交边DC于点F，连接CE，AF．
（1）求证：△ABP∽△PCF；
（2）当

BP

AB

的值等于多少时，△APF∽△PCF？请说明理由；
（3）当CP=CE时，求cot∠EPC的值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质和已知条件证明∠PAB=∠EPC，即可证明：△ABP∽△PCF；
（2）当

BP

AB

=

1

2

，△APF∽△PCF，设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=

1

2

，FC=

1

4

，根据勾股定理计算AP，EP的值，即可得到，△APF∽△PCF；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°，设EG=CG=x．则CP=CE=

2

x，PG=x+

2

x．在Rt△EPG中，即可求出cot∠EPC的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠PCD=90°，
∴∠PAB+∠APB=90°．
∵∠APE=90°，
∴∠EPC+∠APB=90°．
∴∠PAB=∠EPC．
∴△ABP∽△PCF．
（2）
当

PB

AB

=

1

2

时，△APF∽△PCF．理由如下：
∵∠PAB=∠EPC，
∴tan∠PAB=tan∠EPC，即

PB

AB

=

FC

PC

=

1

2

．
设正方形ABCD边长为1，则AB=BC=1，PB=PC=

1

2

，FC=

1

4

．
在Rt△ABP中，AP=

AB2+PB2

=

12+( 1 2 )2

=

1

2

5

．
在Rt△PCF中，FP=

PC2+FC2

=

( 1 2 )2+( 1 4 )2

=

1

4

5

．
∴

FP

AP

=

FC

PC

=

1

2

，
∵∠APF=∠PCF=90°，
∴△APF∽△PCF．
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G（如图），则∠EGP=∠B=90°．
∵∠PAB=∠EPC，PA=PE．
∴△PAB≌△EPG
∴EG=PB，AB=BC=PG，
∴PB=EG=CG，
∴∠ECG=45°．
设EG=CG=x．则CP=CE=

2

x，PG=x+

2

x．
在Rt△EPG中，cot∠EPC=

PG

EG

=

x+ 2  x

x

=1+

2

．

点评：本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度很大，对学生的解题能力要求很高．