Question

阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：
sin30°=，cos30°=，则sin²30°+cos²30°=______；①
sin45°=，cos45°=，则sin²45°+cos²45°=______；②
sin60°=，cos60°=，则sin²60°+cos²60°=______．③
…
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=______．④
（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；
（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA=，求cosA．

Answer 1

【答案】分析：①②③将特殊角的三角函数值代入计算即可求出其值；
④由前面①②③的结论，即可猜想出：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=1；
（1）过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，cosA=，则sin²A+cos²A=，再根据勾股定理得到BD²+AD²=AB²，从而证明sin²A+cos²A=1；
（2）利用关系式sin²A+cos²A=1，结合已知条件cosA＞0且sinA=，进行求解．
解答：解：∵sin30°=，cos30°=，
∴sin²30°+cos²30°=（）²+（）²=+=1；①
∵sin45°=，cos45°=，
∴sin²45°+cos²45°=（）²+（）²=+=1；②
∵sin60°=，cos60°=，
∴sin²60°+cos²60°=（）²+（）²=+=1．③
观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin²A+cos²A=1．④
（1）如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°．
∵sinA=，cosA=，
∴sin²A+cos²A=（）²+（）²=，
∵∠ADB=90°，
∴BD²+AD²=AB²，
∴sin²A+cos²A=1．

（2）∵sinA=，sin²A+cos²A=1，∠A为锐角，
∴cosA==．
点评：本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．