题目内容
【题目】如图1，在长方形
中，BC=3，动点
从
出发，以每秒1个单位的速度，沿射线
方向移动，作
关于直线
的对称
，设点的运动时间为
（1）当P点在线段BC上且不与C点重合时，若直线PB’与直线CD相交于点M，且∠PAM=45°，试求：AB的长
（2）若AB=4
①如图2，当点B’落在AC上时，显然△PCB’是直角三角形，求此时t的值
②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB’是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由
【答案】（1）AB的长为3；（2）①
；②t的值为
或
或4.
【解析】
（1）如图所示，延长
与CD交于M，连接AM，用角角边证明
，可推出AB=BC=3.
（2）①在Rt△
中，找出边长利用勾股定理建立方程求解；
②分三种情况讨论：
，
，，分别作出相应的图形，在
中，分别找出边长，利用勾股定理建立方程求解.
（1）如图所示，延长与CD交于M，连接AM，
由折叠的性质可知
，
，
∵
，
，
∴
在
和
中，
∴≌（AAS）
∴
又∵ABCD为矩形，∴AD=BC=3，
∴AB=3
（2）①在Rt△ABC中，
∵点P点的运动时间为t，速度为1，∴BP=t，
，
，
,
在Rt△中，由勾股定理有
，即
，解得.
②当，如下图所示，
∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=3，CD=AB=4，
有折叠性质有
，在Rt△
中，
，
∴
在Rt△
中，
，
，即
，解得
当∠=90°时，如下图所示，
由折叠可得，
在Rt△
中，
在Rt△中，
，
，
，即
，解得
当
=90°时，如下图所示，根据折叠易得四边形
为正方形，∴PB=AB=4
综上，满足题意的t的值为或或4.
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