Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且F，C，B三等分半圆，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若CD=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2） ⊙O的半径为4

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由F、C、B三等分半圆，根据圆周角定理得，而，则，可判断，由于，所以，然后根据切线的判定定理得到是的切线；

（2）连接BC，由AB为直径得，由F、C、B三等分半圆得 ，则，所以，在中，利用含30度的直角三角形的关系得，在中，根据勾股定理求得，进而求得的半径．

试题解析：

（1）连结OC，如图，

∵F，C，B三等分半圆，

∴∠FAC=∠BAC

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF

∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线

（2）连结BC，如图，∵AB为直径，

∴∠ACB=90°

∵ F，C，B三等分半圆，

∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°

在Rt△ADC中，CD=2，

∴AC=2CD=4

在Rt△ACB中，

∴

∴AB=4，

∴⊙O的半径为4