Question

如图，已知抛物线经过坐标原点O及A（，0），其顶点为B（m，3），C是AB中点，点E是直线OC上的一个动点 （点E与点O不重合），点D在y轴上，且EO=ED．
（1）求此抛物线及直线OC的解析式；
（2）当点E运动到抛物线上时，求BD的长；
（3）连接AD，当点E运动到何处时，△AED的面积为？请直接写出此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据抛物线过原点和A（），得出抛物线对称轴为x=，故可得出B点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+）²+3，由抛物线经过（0，0）可求出a的值，故可得出抛物线的解析式，
由C为AB的中点可得出C点坐标，进而得出直线OC的解析式；
（2）连接ED，由于点E是抛物线与直线OC的交点所以联立二次函数与直线的解析式可求出E点坐标，过E作EF⊥y轴于F可求出OF的长，再由EO=ED可得出D点坐标，故可求出BD的长．
（3）连接DE、AE、AD，设E（x，-x），由A，D两点坐标即可得出OA=2，OD=，由S_{四边形AODE}=S_△AOE+S_△DOE=S_△AED+S_△AOD即可得出结论．
解答：解：（1）∵抛物线过原点和A（），
∴抛物线对称轴为x=．
∴B（）．
设抛物线的解析式为y=a（x+）²+3．
∵抛物线经过（0，0），
∴0=3a+3．
∴a=-1．
∴y=-（x+）²+3，
=-x²-2x．
∵C为AB的中点，A（-2，0）、B（-，3），
∴C（-，）．
∴直线OC的解析式为y=-x；

（2）如图1，连接ED．
∵点E为抛物线y=-x²-2x与直线y=-x的交点（点E与点O不重合）．
∴，解得或（不合题意，舍去），
∴E（-，）；
过E作EF⊥y轴于F，可得OF=，
∵OE=DE，EF⊥y轴，
∴OF=DF，
∴DO=2OF=，
∴D（0，），
∴BD==；

（3）如图2，连接DE、AE、AD，设E（-a，a）（a＞0），
∵A（-2，0），D（0，a），
∴OA=2，OD=a，
∴S_△AED=S_△AOE+S_△DOE-S_△AOD=×2×a+×a×a-×2×a=a²-a，
∴a²-a=，
解得a=；
∴E（-，），
同理，当E在第四象限时，
E（，-）．
故E点的坐标为（-，）或（，-）．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式、三角形的面积公式等知识，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．