Question

【题目】如图(1)我们知道等腰直角三角形的三边的比AC:BC:AB=1:1： ，含有30度的直角三角形的三边之比AC:BC:AB=1∶∶2.如图(2)，分别取反比例函数， 图象的一支，Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y轴于C，∠AOC=60°，点A,点B分别在这两个图像上。

（1）填空: K1=-__________，K2=______________.

（2）将△AOC沿y轴折叠得△DOC，如图所示。

①试判断D点是否存在的图象上，并说明理由．

②在y轴上找一点N，使得|BN-DN|的值最大，求出点N的坐标。

③连接BD，求S四边形OCBD．

（3）将Rt△AOB绕着原点顺时针旋转一周，速度是5°/秒。问：经过多少秒，直线AB与图中分支的对称轴或者与图中分支的对称轴平行。直接写出结果。

Answer 1

【答案】（1）K1=，K2=（2）①算出D（），在图像上②N（0， ）③（3）12,48，30,66

【解析】试题分析：

（1）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，由已知条件即可求得AE、OD、BF和OF的长，结合点A和点B所处象限即可得到点A、B的坐标，这样即可求得k1和k2的值了；

（2）①由点A的坐标可得点D的坐标，将点D的坐标代入中检验即可得出结论；

②如图2，延长DB交y轴于点N，此时|BN-DN|的值最大，由B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式，再由解析式即可求得直线BD与y轴的交点N的坐标了；

③由AB的坐标求出直线AB的解析式，由此求出点C的坐标，再过点B作y轴的垂线，过点D作x轴的垂线，利用两垂线与两坐标轴围成一个矩形结合已知条件即可求出四边形OCBD的面积了；

（3）如图3，两个反比例函数图象的分支的对称轴分别是直线l1和l2，它们与x轴相交形成的锐角度数都是45°，由图可知，当△AOB绕点O顺时针旋转60°和240°时，AB与l2平行，当旋转150°和330°时，AB和l1平行，由此结合旋转速度为5°/秒即可求得对应的时间了.

试题解析：

（1）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，

∴∠AEO=∠BFO=90°，

∵∠AOC=60°，

∴∠AOE=30°，∠BOF=30°，

∴AE：OE：OA=BF：OF：OB=1∶∶2，

又∵∵OA=OB=2，

∴AE=BF=1，OE=OF=，

∴点A、B的坐标分别为和，

∴， ；

（2）①∵点D和点A关于y轴对称，

∴点D的坐标为，

∴，

∴点D在的图象上；

②延长DB交y轴于点N，此时|BN-DN|的值最大，

设直线BD的解析式为，则由B、D的坐标可得： ，

解得： ，

∴BD的解析式为： ，

∴点N的坐标为；

③设直线AB的解析式为，

∵点A、B的坐标分别为和，

∴ ，解得 ，

∵直线AB与y轴相交于点C，

∴点C的坐标为，

如图2，过点B作BF⊥y轴于点F，过点D作DQ⊥x轴于点Q，FB与DQ相交于点P，

∵点B、D的坐标分别为， ，

∴S四边形OCBD=S矩形OFPQ-S△CFB-S△BDP-S△ODQ

=

=

=；

（3）如图3，由题意可知，两个反比例函数图象的分支的对称轴分别是直线l1和l2，它们与x轴相交形成的锐角度数都是45°，

由图结合∠AOC=60°可知，当△AOB绕点O顺时针旋转60°和240°时，AB与l2平行，当旋转150°和330°时，AB和l1平行，

又∵△AOB绕点O旋转的速度为5°/秒，

∴60÷5=12（秒），150÷5=30（秒），240÷5=48（秒），330÷5=66（秒），

∴当△AOB绕点O旋转12秒、30秒、48秒和66秒时，AB和两个反比例函数图象的一个分支的对称轴平行.