Question

如图，直线AB过x轴上的点B（4，0），且与抛物线y=ax²交于A、C两点，已知A（2，2）．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）如果抛物线上有点D，使S_△OBD=S_△OAC，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）已知直线AB经过A（2，0），B（1，1），设直线表达式为y=ax+b，可求直线解析式；
（2）将A（2，2）代入抛物线y=ax²可求抛物线解析式；
（3）已知A，B，C三点坐标，根据作差法可求△OAC的面积，在△DOB中，已知面积和底OB，可求OB上的高，即D点纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标，得出D点坐标．

解答：解：（1）设直线表达式为y=ax+b，
∵A（2，2），B（4，0）都在y=ax+b的图象上，
∴

2=2a+b 0=4a+b

，
∴

a=-1 b=4

，
∴直线AB的函数解析式为：y=-x+4，

（2）∵点A（2，2）在y=ax²的图象上，
∴a=

1

2

，
∴抛物线的函数解析式为y=

1

2

x²．

（3）∵

y=-x+4 y= 1 2 x 2

，
解得：

x=2 y=2

或

x=-4 y=8

，
∴点C的坐标为（-4，8），
设D（x，

1

2

x²），
∴S_△OBD=|OB|•|y_D|=

1

2

×4×

1

2

•x²=x²．
∴S_△AOC=S_△BOC-S_△OAB=

1

2

×4×8-

1

2

×4×2=16-4=12，
∵S_△OBD=S_△OAC，
∴x²=12，
∴x=±2

3

，
∴D点坐标为（2

3

，6）或（-2

3

，6）．

点评：本题主要考查了一次函数、二次函数解析式的求法，要求会用点的坐标表示三角形的面积，从而求出符合条件的点的坐标，题目的综合性不小，难度不大．