Question

【题目】在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点和.

（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）把该抛物线向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度，得到的抛物线与轴只有一个公共点；

（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点，且与轴交于点，同时满足以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2）下，；（3）将原抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位或将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，理由见解析.

【解析】

（1）将点和代入抛物线解析式可求出a，b，进而得到抛物线解析式，将解析式化成顶点式可得顶点坐标；

（2）根据平移规律进行解答；

（3）根据是等腰直角三角形可得点的坐标为或，分情况讨论，分别求出抛物线解析式，进而判断平移方式即可.

解：（1）由题意，得，

解得，

∴该抛物线的解析式为，

∵，

∴顶点坐标为；

（2）∵当顶点坐标为时，抛物线与轴只有一个公共点，

∴需要把该抛物线向下平移个单位长度；

（3）是等腰直角三角形，，点在轴上，

点的坐标为或，

设平移后的抛物线的解析式为，

①当抛物线过点，时，有，

解得，

平移后的抛物线的解析式，

该抛物线的顶点坐标为，

原抛物线的顶点坐标为，

将原抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可得到符合条件的抛物线；

②当抛物线过，时，有，

解得，

平移后的抛物线的解析式为，

该抛物线的顶点坐标为，

原抛物线的顶点坐标为，

将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可得到符合条件的抛物线.