Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B，以及AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD；
（2）根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，再利用菱形的判定得出．

解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=∠DAC=

1

2

∠FAC，
∵∠B+∠BCA=∠FAC，
∴∠B=

1

2

∠FAC，
∴∠B=∠FAD，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD；

（2）∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，
∴∠ACB=60°，
∠FAC=∠ACE=120°，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠B=∠D=60°，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容，注意菱形与平行四边形的区别，得出AB=BC是解决问题的关键．