Question

2．如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE与E点．
（1）求证：BD=DE+CE
（2）若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时（BD＜CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？请予以证明．
（3）若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时（BD＞CE）其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需证明．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件易证得∠BAD=∠ACE，且根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．
（2）BD=DE+CE．根据全等三角形的判定可证明△ABD≌△CAE，根据各线段的关系即可得结论．
（3）同上理，BD=DE+CE仍成立．

解答 证明：（1）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∵∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠CAE
在△ABD 和△CAE中，
∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠CEA，AB=AC
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE
（2）解：BD=DE-CE
证明如下：
∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠DAB+∠DBA=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC
△DBA≌△EAC（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
BD=AE=DE-AD=DE-CE
（3）∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠DAB+∠DBA=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E=90°，∠DBA=∠CAE，AB=AC
△DBA≌△EAC（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
又∵ED=AD+AE，
∴DE=BD+CE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到直角三角形的性质、余角和补角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．