Question

如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．
求证：AP=AQ．

Answer 1

证明：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ．
由于，∠FDA=∠ABQ，
∴△ADF∽△ABG，
∴∠AFC=∠AGE，
∵四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，
∴∠AFC=∠AOP；∠AGE=∠AOQ，
∴∠AOP=∠AOQ，
∴AP=AQ．
分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明△ADF∽△ABG，所以∠AFC=∠AGE，再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得∠AOP=∠AOQ，进而得到AP=AQ．
点评：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形．