题目内容
如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．求证：AP=AQ．（初二）
分析：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ，证明△ADF∽△ABG，所以∠AFC=∠AGE，再利用圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角，证得∠AOP=∠AOQ，进而得到AP=AQ．
解答：
证明：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ．
由于
=
=
=
=
，∠FDA=∠ABQ，
∴△ADF∽△ABG，
∴∠AFC=∠AGE，
∵四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，
∴∠AFC=∠AOP；∠AGE=∠AOQ，
∴∠AOP=∠AOQ，
∴AP=AQ．
证明：作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ．由于
| AD |
| AB |
| AC |
| AE |
| CD |
| BE |
| 2FD |
| 2BG |
| FD |
| BG |
∴△ADF∽△ABG，
∴∠AFC=∠AGE，
∵四边形PFOA与四边形QGOA四点共圆，
∴∠AFC=∠AOP；∠AGE=∠AOQ，
∴∠AOP=∠AOQ，
∴AP=AQ．
点评：本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，以及圆的内接四边形性质：对角互补，外角等于内对角，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形．
练习册系列答案
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