题目内容
1与0交替排列，组成下面形式的一串数101，10101，1010101，101010101，…，请你回答：在这串数中有多少个质数？并证明你的结论．分析：假设有n个1的数为An，首先A1是一个质数，再根据n≥2时An均为合数，分n为偶数与奇数两种情况进行讨论．
解答：解：显然101是质数，假设有n个1的数为An，首先A1是一个质数，
当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除，
当n为奇数时，An×11=111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即102n-1，即An=
，
即An=
=[
]×[
]，
设
=a，
=b，显然b是整数，
而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除，
而10n+1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除，
所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数．
故答案为：1．
当n≥2时An均为合数，当n为偶数时，显然An能被101整除，
当n为奇数时，An×11=111…1（共2n个1），再将它乘以9得999…9（共2n个9），即102n-1，即An=
| 102n-1 |
| 99 |
即An=
| (10n+1)(10n-1) |
| 99 |
| (10n+1) |
| 11 |
| 10n-1 |
| 9 |
设
| (10n+1) |
| 11 |
| 10n-1 |
| 9 |
而一个数被11整除的充要条件是奇偶位和的差能被11整除，
而10n+1的奇数位和为1，偶数位和也为1，所以能被11整除，
所以a也是一个不为1的整数，所以An不是质数，所以这串数中有101一个质数．
故答案为：1．
点评：本题考查的是质数与合数，解答此题的关键是利用分类讨论的思想进行解答．
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