Question

如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45゜．若AP=2，BP=6，求MN的长．

Answer 1

分析：过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，先根据AB是直径AP=2，BP=6求出⊙O的半径，故可得出OP的长，因为∠NPB=45゜，所以△OPD是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出OD的长，故可得出DN的长，由此即可得出结论．

解答：解：过点O作OD⊥MN于点D，连接ON，则MN=2DN，
∵AB是⊙O的直径，AP=2，BP=6，
∴⊙O的半径=

1

2

（2+6）=4，
∴OP=4-AP=4-2=2，
∵∠NPB=45゜，
∴△OPD是等腰直角三角形，
∴OD=

2

，
在Rt△ODN中，
DN=

ON2-OD2

=

16-2

=

14

，
∴MN=2DN=2

14

．

点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．