Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．

Answer 1

24
分析：根据直线y=kx-3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
解答：解：∵直线y=kx-3k+4必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB=13，
∴BD=12，
∴BC的长的最小值为24；
故答案为：24．
点评：此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．