题目内容

正△ABC的边长为1，P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB．其中Q、R、S为垂足，若SP= $数学公式$ ，则AP的长是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$ 或 $数学公式$

D
分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出BP=2BQ，设BQ=x则PB=2x，QC=1-x，RS= $\text{[math]}$ （1-x），AP=1- $\text{[math]}$ （1-x）= $\text{[math]}$ （1+x），AS= $\text{[math]}$ （1+x），当S在AP上时，根据AS+PS+BP=1，代入求出x即可；当P在AS之间时，同理可求出x．
解答：

解：∵等边三角形ABC，
∴∠B=60°，
∵PQ⊥BC，
∴∠PQB=90°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
同理CQ=2CR，AR=2AS，
设BQ=x则PB=2x，QC=1-x，RS= $\text{[math]}$ （1-x），AP=1- $\text{[math]}$ （1-x）= $\text{[math]}$ （1+x），AS= $\text{[math]}$ （1+x），
当S在AP上时，2x+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1+x）=1，x= $\text{[math]}$ ，
AP=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当P在AS之间时，同理可求出AP= $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题主要考查对等边三角形性质，含30度角的之间三角形，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出BP=2BQ、CQ=2CR、AR=2AS是解此题的关键．