Question

已知：如图，等腰△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，连接AD，交AB于点E，∠D=40°，∠B=25°．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，求弦AB的长（结果精确到0.01）．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由于∠B=25°，利用圆周角定理可求∠O=50°，而∠D=40°，那么∠O+∠D=90°，利用三角形内角和等于180°，可求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；
（2）由于AC=BC，那么

AC

=

BC

，OC是半径，利用垂径定理的推论，可知OC⊥AB，在Rt△OAE中，利用三角函数值，可求AE，而AB=2AE，易求AB．

解答：证明：（1）连接OA，（1分）
∵∠B=25°，
∴∠0=2∠B=50°，（2分）
∵∠D=40°，
∴∠D+∠O=90°，（1分）
∴∠OAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；（1分）

（2）∵AC=BC，
∴

AC

=

BC

，
∴OC⊥AB，（2分）
∴AE=OAsin50°，（2分）
∴AB=2AE=2×5sin50°≈7.66．（1分）

点评：本题利用了圆周角定理、三角形内角和定理、切线的判定、垂径定理的推论、三角函数值．