Question

已知：如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F。

（1）求证：AD=BD；
（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为3，sin∠F=，求DE的长。

Answer 1

解：（1）证明：如图，连结CD， ∵BC是直径， ∴∠BDC=90°，即CD⊥AB ∵AC=BC， ∴AD=BD； （2）连结OD， ∵∠A=∠B，∠AED=∠BDC=90°， ∴∠ADE=∠DCO， ∵OC=OD， ∴∠DCO=∠CDO， ∴∠CDO=∠ADE， 由（1）得∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDO+∠CDE=90°，即∠ODF=90°， ∴DF是⊙O的切线； （3）在Rt△DOF中， ∵sin∠F=， ∴OF=5， ∵OC=3， ∴CF=5-3=2， 由（2）得∠DEA=∠ODF=90°， ∴OD∥AC， ∴△CEF∽△ODF， ∴，即， ∴DE=。