Question

如图，在平面直角坐标系中，有等边三角形OAB，其中OA=2，点C为OA的中点，D、E分别是AB和OB上的动点．
（1）求点C的坐标；
（2）当D、E两点运动到使得∠DCE=60°，且AD=

2

3

时，求E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）首先作CF⊥BO，根据等边三角形的性质得到，∠COB=60°，再利用三角函数求出CF、FO长，即可得到点C的坐标；
（2）根据题目条件∠1=∠3，再有条件∠A=∠COE，可以证出△ADC∽△OCE，根据相似三角形的性质可得到

CO

AD

=

EO

AC

，
代入数值可以求出EO的长，进而可得到E点的坐标．

解答：解：（1）作CF⊥BO，
∵等边三角形OAB，其中OA=2，点C为OA的中点，
∴CO=1，∠COB=60°，
∴∠FCO=30°，
∴FO=

1

2

CO=

1

2

×1=

1

2

，
FC=COsin60°=

3

2

，
∴点C的坐标为：（-

1

2

，

3

2

）；

（2）∵∠DCE=60°，
∠OCF=30°，
∴∠1+∠2=∠DCE+∠OCF=90°，
∵∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠A=∠COE，
∴△ADC∽△OCE，
∴

CO

AD

=

EO

AC

，
∴

1

2 3

=

EO

1

，
∴EO=

3

2

．
∴E点的坐标为：（-

3

2

，0）．

点评：此题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，点的坐标，以及三角函数的应用，熟练运用等边三角形性质及相似三角形的判定与性质定理是解本题的关键．