Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x²从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停止移动。

(1)求线段OA所在直线的函数解析式；
(2)设抛物线顶点M的横坐标为m，
①用m的代数式表示点P的坐标；
②当m为何值时，线段PB最短；
(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使△QMA的面积与△PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)设OA所在直线的函数解析式为y=kx， ∵A(2，4)， ∴2k=4， ∴k=2， ∴OA所在直线的函数解析式为y=2x； (2)①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动， ∴y=2m(0≤m≤2)， ∴顶点M的坐标为(m，2m)， ∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m， ∴当x=2时，(0≤m≤2)， ∴点P的坐标是(2，)， ②∵， 又∵0≤m≤2， ∴当m=1时，PB最短；

(3)当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为， 假设在抛物线上存在点Q，使， 设点Q的坐标为(x，)， ①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C， ∵PB=3，AB=4， ∴AP=1， ∴OC=1， ∴点C的坐标是(0，-1)， ∵点P的坐标是(2，3)， ∴直线PC的函数解析式为y=2x-1， ∵， ∴点Q落在直线y=2x-1上， ∴， 解得，即点(2，3)， ∴点Q与点P重合， ∴此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△APM的面积相等； ②当点Q落在直线OA的上方时，作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E， ∵AP=1， ∴EO=DA=1， ∴E、D的坐标分别是(0，1)，(2，5)， ∴直线DE函数解析式为y=2x+1， ∵， ∴点Q落在直线y=2x+1上， ∴，解得：， 代入，得， ∴此时抛物线上存在点，使△QMA与△PMA的面积相等， 综上所述，抛物线上存在点，使△QMA与△PMA的面积相等。