Question

如图，平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，并且AB=3，OA=6，将△AOB绕点O逆时针旋转90度得到△COD．点P从点C出发（不含点C），沿射线DC方向运动，记过点D，P，B的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a＜0）．
（1）直接写出点D的坐标．
（2）在直线CD的上方是否存在一点Q，使得点D，O，P，Q四点构成的四边形是菱形？若存在，求出P与Q的坐标．
（3）当点P运动到∠DOP=45度时，求抛物线的对称轴．
（4）求代数式a+b+c的值的取值范围（直接写出答案即可）．

Answer 1

解：（1）∵△AOB绕点O逆时针旋转90度得到△COD，
∴OC=OA=6，CD=AB=3，
∵点D在第二象限，
∴D（-3，6）；

（2）在直线CD的上方是否存在一点Q，使得点D，O，P，Q四点构成的四边形是菱形．理由如下：
∵四边形DOPQ是菱形，
∴CD=CP=3，CQ=OC=6，
∴OQ=6+6=12，
∴点P（3，6），Q（0，12）；

（3）如图，延长AB交直线DP于点H，连接BP，
由旋转的性质得，∠AOB=∠COD，OA=OD，
∵∠DOP=45°，
∴∠DOC+∠COP=∠AOB+∠COP=45°，
∴∠BOP=90°-（∠AOB+∠COP）=90°-45°=45°，
∴∠BOP=∠DOP，
在△BOP和△DOP中，，
∴△BOP≌△DOP（SAS），
∴PB=PD，
设P（x，6），
则PB=DP=x+3，
在正方形OAHC中，PH=6-x，BH=6-3=3，
在Rt△BPH中，由勾股定理得，PH²+BH²=PB²，
∴（6-x）²+3²=（3+x）²，
解得，x=2，
∴P（2，6），
又∵D（-3，6），
∴对称轴是直线x==-；

（4）∵B（6，3），D（-3，6）在抛物线上，
∴，
∴b=-3a-，c=5-18a，
∴a+b+c=-20a+，
可得开口越小，a+b+c越大，
∴点C、P重合时，x=1时，a+b+c的值最小，
此时，P（0，6），
∵B（6，3），D（-3，6）在抛物线上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x²-x+6，
当x=1时，a+b+c=--+6=，
∴代数式a+b+c的值的取值范围为a+b+c＞．
分析：（1）根据旋转的性质可得OC=OA，CD=AB，然后根据点D在第二象限写出坐标即可；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得CD=CP，CQ=OC，然后写出点P、Q的坐标即可；
（3）延长AB交直线DP于H，连接BP，根据旋转的性质可得∠AOB=∠COD，OA=OD，然后求出∠BOP=45°，从而得到∠BOP=∠DOP，再利用“边角边”证明△BOP和△DOP全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=PD，设P（x，6），然后求出四边形OAHC是正方形并表示出PB、PH、BH，在Rt△PBH中，利用勾股定理列方程求出x的值，再根据二次函数的对称性求出对称轴即可；
（4）根据二次函数的对称性和最值问题可得点C、P重合时，x=1时，a+b+c的值最小，然后利用待定系数法求出二次函数解析式，再求出x=1时的函数值，即可得解．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，（3）利用勾股定理列式求解得到点P的坐标是解题的关键，（4）判断出点C、P重合时代数式的值最小是解题的关键．