Question

阅读材料：如图1，在△AOB中，∠O=90°，OA=OB，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF=OA．（此结论不必证明，可直接应用）

（1）【理解与应用】

如图2，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，则PE+PF的值为　　．

（2）【类比与推理】

如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=4，AD=3，点P在AB边上，PE∥OB交AC于点E，PF∥OA交BD于点F，求PE+PF的值；

（3）【拓展与延伸】

如图4，⊙O的半径为4，A，B，C，D是⊙O上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，PE∥BC交AC于点E，PF∥AD于点F，当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OB=OC=OD，∠ABC=∠AOB=90°．

∵AB=BC=2，

∴AC=2．

∴OA=．

∵OA=OB，∠AOB=90°，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE+PF=OA=．

（2）如图3，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB=OC=OD，∠DAB=90°．

∵AB=4，AD=3，

∴BD=5．

∴OA=OB=OC=OD=．

∵PE∥OB，PF∥AO，

∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．

∴，．

∴==1．

∴+=1．

∴EP+FP=．

∴PE+PF的值为．

（3）当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF是定值．

理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4．

∵DG与⊙O相切，

∴∠GDA=∠ABD．

∵∠ADG=30°，

∴∠ABD=30°．

∴∠AOD=2∠ABD=60°．

∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形．

∴AD=OA=4．

同理可得：BC=4．

∵PE∥BC，PF∥AD，

∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．

∴，．

∴==1．

∴=1．

∴PE+PF=4．

∴当∠ADG=∠BCH=30°时，PE+PF=4．