Question

2．如图，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心，证明C，E，O，F四点共圆．

Answer 1

分析 根据外心的性质可知OA=OB=OC，则∠OCB=∠OBC，又AC=BC，由等腰三角形的对称性，得∠OCB=∠OCA，再根据已知条件证明△ECO≌△FBO，可得∠EOC=∠FOB，OE=OF，比较等腰△OEF与等腰△OBC的顶角，可得底角∠OFE=∠OBC=∠OCE，可证C，E，O，F四点共圆．

解答 证明：如图，连接OB、OC、OE、OF．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
又∵AC=BC，
∴∠OCB=∠OCA，
∴∠OBC=∠OCA，
在△ECO与△FBO中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OB}\\{∠ECO=∠FBO}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ECO≌△FBO（SAS），
∴∠EOC=∠FOB，又∠AOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠COB，
又∵EO=OF，
∴∠OEF=∠OCF，
∴C，E，O，F四点共圆．

点评 本题考查了四点共圆，全等三角形的判定与性质，外心的性质．关键是构造到圆内接四边形中相等的角，证明四点共圆．