Question

如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G

（1）       求证：CG是⊙O的切线

（2）       求证：AF=CF

（3）       若∠EAB=30°,CF=2  求AG的长

Answer 1

解：（1）连接CO                              

   ∵ =

   ∴OC⊥AE

   ∵AE//CG

   ∴OC⊥CG ∵OC为半径

   ∴CG是圆O的切线      ------------------------3分

（2）连接AC·BC

   ∵AB是直径

   ∴∠ACB=90°

   ∴∠ACD+∠DCB=90°

   ∵CD⊥AB

   ∴∠CDB=90°

   ∴∠DCB+∠CBD=90°

   ∴∠ACD=∠CBD

   ∵ =

   ∴∠CAE=∠CBD

   ∴∠ACD=∠CAE

   ∴AF=CF            ------------------------------------7分

(3)∵AF=CF  CF=2

∴AF=2

∵∠EAB=30°

∴在RT△AFD中FD=AF·sin30°=2×=1

 AD=AF×cos30°=2×=

∵CG//AE

∴=

∴=    ∴AG=2        -------------------------------------------------10分