如图所示.已知等边△ABC和点P.设P到△ABC三边AB.AC.BC的距离分别为h1.h2.h3.△ABC的高为h．若点P在一边BC上.此时h3＝0.则可得结论:h1+h2+h3＝h． (1) 请直接应用上述信息解决下列问题: 当点P在△ABC内部.点P在△ABC外部这两种情况时上述结论是否还成立?若成立.请给予证明,若不成立.h1.h2.h3与h之间又有怎样� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

　　如图所示，已知等边△ABC和点P，设P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为h₁，h₂，h₃，△ABC的高为h．

　　若点P在一边BC上，此时h₃＝0，则可得结论：h₁＋h₂＋h₃＝h(如图(1))．

(1)

请直接应用上述信息解决下列问题：

当点P在△ABC内部(如图(2))，点P在△ABC外部(如图(3))这两种情况时上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，h₁，h₂，h₃与h之间又有怎样关系？请写出你的猜想，不用证明．

(2)

若不应用上述信息，请探究其他的方法来证明你猜想的结论．

答案：
解析：

(1)

　　当点P在△ABC内部时，结论h₁＋h₂＋h₃＝h仍成立．

　　如图(2)，过P作NQ∥BC，分别交AB，AC，AM于N，Q，K．

　　依题意有h₁＋h₂＝AK，KM＝PF＝h₃，所以h₁＋h₂＋h₃＝AK＋KM＝h．

　　当点P在△ABC外部时，结论h₁＋h₂＋h₃＝h不成立，它们的关系是h₁＋h₂－h₃＝h．

(2)

　　如图(3)，连接PA，PB，PC，则

　　S_△ABC＝S_△ABP＋S_△APC－S_△BPC，即BC·h＝AB·h₁＋AC·h₂－BC·h₃．

　　因为AB＝AC＝BC，所以h₁＋h₂－h₃＝h．

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∠BPD的度数．

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