Question

在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=

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∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足

∠ABC+∠D=180°

时，可使得DE+BF=EF．

Answer 1

分析：在CB的延长线上取一点G，使BG=DE，由于∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABG=180°，可以得到∠ABG=∠D，再利用SAS证明△ABG≌△ADE，由此可以推出∠BAG=∠DAE，AG=AE，而∠EAF=

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∠DAB，所以得到∠EAF=∠GAF，再利用SAS证明△AEF≌△AGF，然后根据全等三角形的性质就可以证明DE+BF=EF．

解答：解：当∠ABC+∠D=180°时，DE+BF=EF．理由如下：
在CB的延长线上取一点G，使BG=DE，连接AG．
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABG=180°，
∴∠ABG=∠D．
在△ABG与△ADE中，

AB=AD ∠ABG=∠D BG=DE

，
∴△ABG≌△ADE（SAS），
∴∠BAG=∠DAE，AG=AE，
∴∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠DAB-∠EAF=∠DAB-

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∠DAB=

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∠DAB，
∴∠GAF=∠EAF．
在△AGF与△AEF中，

AG=AE ∠GAF=∠EAF AF=AF

，
∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴GF=EF．
∵GB+BF=GF，
∴DE+BF=EF．
故答案为∠ABC+∠D=180°．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定及性质，根据题意作出与已知相等的线段，利用三角形全等是解决问题的关键．