Question

如图，直线y=-

3

4

x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=

5

4

x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标．
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式．
（3）求（2）中S的最大值．
（4）当t＞0时，直接写出点（4，

9

2

）在正方形PQMN内部时t的取值范围．
参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．

Answer 1

分析：（1）简单求两直线的交点，得点C的坐标；
（2）根据几何关系把s用t表示，注意当MN在AD上时，这一特殊情况．
（3）转化为求函数最值问题；
（4）求定点在正方形PQMN内部时，t的范围，点E在x轴上运动，要用到分类讨论．

解答：解：（1）由题意，得

y=- 3 4 x+6 y= 5 4 x

，
解得

x=3 y= 15 4

，
∴C（3，

15

4

）．

（2）根据题意，得AE=t，OE=8-t．
∴点Q的纵坐标为

5

4

（8-t），点P的纵坐标为-

3

4

（8-t）+6=

3

4

t，
∴PQ=

5

4

（8-t）-

3

4

t=10-2t．
当MN在AD上时，10-2t=t，
∴t=

10

3

．
当0＜t≤

10

3

时，S=t（10-2t），即S=-2t²+10t．
当

10

3

＜t＜5时，S=（10-2t）²，即S=4t²-40t+100．

（3）当0＜t≤

10

3

时，S=-2（t-

5

2

）²+

25

2

，
∴t=

5

2

时，S最大值=

25

2

．
当

10

3

≤t＜5时，S=4（t-5）²，
∵t＜5时，S随t的增大而减小，
∴t=

10

3

时，S最大值=

100

9

．
∵

25

2

＞

100

9

，
∴S的最大值为

25

2

．

（4）当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；
当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8-t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5＞

9

2

，
点（4，

9

2

）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（4，

9

2

）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为

9

2

时，OE=

18

5

∴8-t=

18

5

即t=

22

5

，
此时OE+PN=

18

5

+PQ=

18

5

+（10-2t）=

24

5

＞4满足条件，
∴4＜t＜

22

5

，
当t＞5时，由图和条件知，则有E（t-8，0），PQ=2t-10要满足点（4，

9

2

）在正方形的内部，
则临界条件N点横坐标为4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=6，此时Q点的纵坐标为：-

3

4

×2+6=

9

2

．满足条件，
∴t＞6．
综上所述：4＜t＜

22

5

或t＞6．

点评：此题前三问简单，考查函数基本性质，求函数最值问题，第四问考查动点问题，求t的范围，观察图形，搞清几何坐标，理清思路，又运用分类讨论思想．