题目内容
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y=-x交于点N．在直线DN上是否存在点M，使∠MON=75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=-x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．
【答案】分析：（1）利用待定系数法将A，B，C三点代入求出a，b，c即可得出解析式；
（2）首先求出EF的长进而得出F点的坐标，再分两种情况：①当点M在射线ND上时，∠MON=75°，②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°，分别得出M点的坐标即可；
（3）分别根据①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q点的坐标即可．
解答：
（1）解：由题意把A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax2+bx+c列方程组得：
，解得 
．
∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+3．
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（-1，4）．
（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4
．∴OF=OE+EF=1+4
．
∴F点的坐标为（
，0）．
设过点D、F的直线解析式是y=κx+b，
把D（-1，4），F（
，0）
代入求得
．
分两种情况：①当点M在射线ND上时，
∵∠MON=75°，∠BON=45°，
∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．∴∠MOC=60°．
∴直线OM的解析式为y=
x．
∴点M的坐标为方程组．
的解，解方程组得，
．
∴点M的坐标为（
，
）．
②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（
，
）．
方法（二）①M在射线ND上，过点M作MP⊥x轴于点P，
由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4
∴EF=DE×tan60°=4
．∴OF=OE﹢EF=1+4
．
∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．
∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP=
OP．
在Rt△MPF中，∵tan∠MFP=
，
∴
=
．
∴OP=2
﹢
．∴MP=6﹢
．
∴M点坐标为（2
﹢
、6﹢
），
②M在射线NF上，不存在点M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（
，
）．
（3）有两种情况①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．
如图2，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．
所以点P、B的纵坐标相同都是3．
因为点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
把y=3代入抛物线的解析式中得x1=0（舍去），x2=-2．
由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，
都等于-2．把x=-2代入y=-x得y=2．
所以Q点的坐标为（-2，2）．
②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．
如图3，∵D（-1，4），B（0，3），∴DB∥OQ．∵PB∥OQ，
点P在抛物线上，∴点P、D重合．
∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．
∴OF=OE+EF=5．
作QH⊥x轴于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，
∴OQ=FQ．∴OH=
OF=
．
∴Q点的横坐标-
．∵Q点在y=-x上，∴把x=-
代入y=-x得y=
．∴Q点的坐标为（-
，
）．
综上，符合条件的点Q有两个，坐标分别为：（-2，2），（-
，
）．
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及锐角三角函数的应用和图象上点的坐标性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．
（2）首先求出EF的长进而得出F点的坐标，再分两种情况：①当点M在射线ND上时，∠MON=75°，②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°，分别得出M点的坐标即可；
（3）分别根据①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°，②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°求出Q点的坐标即可．
解答：
（1）解：由题意把A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax2+bx+c列方程组得：，解得 ．∴抛物线的解析式是y=-x2-2x+3．
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（-1，4）．
（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4
．∴OF=OE+EF=1+4．∴F点的坐标为（
，0）．设过点D、F的直线解析式是y=κx+b，
把D（-1，4），F（
，0）代入求得
．分两种情况：①当点M在射线ND上时，
∵∠MON=75°，∠BON=45°，
∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．∴∠MOC=60°．
∴直线OM的解析式为y=
x．∴点M的坐标为方程组．
的解，解方程组得，．∴点M的坐标为（
，）．②当点M在射线NF上时，不存在点M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°，∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥FN．∴不存在，
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（
，）．方法（二）①M在射线ND上，过点M作MP⊥x轴于点P，
由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4
∴EF=DE×tan60°=4
．∴OF=OE﹢EF=1+4．∵∠MON=75°，∠BON=45°，∴∠MOB=∠MON-∠BON=30°．
∴∠MOC=60°．在Rt△MOP中，∴MP=
OP．在Rt△MPF中，∵tan∠MFP=
，∴
=．∴OP=2
﹢．∴MP=6﹢．∴M点坐标为（2
﹢、6﹢），②M在射线NF上，不存在点M使得∠MON=75°
理由：∵∠MON=75°，∠FON=45°，∴∠FOM=∠MON-∠FON=30°．
∵∠DFE=30°．∴∠FOM=∠DFE．∴OM∥DN．∴不存在．
综上所述，存在点M，且点M的坐标为（
，）．（3）有两种情况①直角梯形OBPQ中，PQ∥OB，∠OBP=90°．
如图2，∵∠OBP=∠AOB=90°，∴PB∥OA．
所以点P、B的纵坐标相同都是3．
因为点P在抛物线y=-x2-2x+3上，
把y=3代入抛物线的解析式中得x1=0（舍去），x2=-2．
由PQ∥OB得到点P、Q的横坐标相同，
都等于-2．把x=-2代入y=-x得y=2．
所以Q点的坐标为（-2，2）．
②在直角梯形OBPQ中，PB∥OQ，∠BPQ=90°．
如图3，∵D（-1，4），B（0，3），∴DB∥OQ．∵PB∥OQ，
点P在抛物线上，∴点P、D重合．
∴∠EDF=∠EFD=45°．∴EF=ED=4．∴OF=OE+EF=5．
作QH⊥x轴于H，∵∠QOF=∠QFO=45°，
∴OQ=FQ．∴OH=
OF=．∴Q点的横坐标-
．∵Q点在y=-x上，∴把x=-代入y=-x得y=．∴Q点的坐标为（-，）．综上，符合条件的点Q有两个，坐标分别为：（-2，2），（-
，）．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及锐角三角函数的应用和图象上点的坐标性质等知识，根据已知进行分类讨论得出是解题关键．
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