题目内容
三角形角平分线交点或三角形内切圆的圆心都称为三角形的内心．按此说法，四边形的四个角平分线交于一点，我们也称为“四边形的内心”．（1）试举出一个有内心的四边形．
（2）探究：对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备何种条件？
（3）探究：腰长为2的等腰直角三角形ABC，∠C=90°，O是△ABC的内心，若沿图中虚线剪开，O仍然是四边形ABDE的内心，此时裁剪线有多少条？为什么？
（4）问题（3）中，O是四边形ABDE内心，且四边形ABDE是等腰梯形，求DE的长？
分析：（1）对角线平分每一对角的四边形都可以，如菱形、正方形；
（2）对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备条件是对边和相等；
（3）根据O到AB的距离等于O到DE的距离，即可得到答案；
（4）由勾股定理求出AB=2
，过D作DF⊥AB于F，过E作EQ⊥AB于Q，得到平行四边形DEQF，推出DE=FQ，DF=EQ，根据等腰直角三角形得出AF=DF=BQ=QE，设DC=x，由勾股定理求出DE、AF、BQ的长，即AF+FQ+BQ=2
，代入即可求出答案．
（2）对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备条件是对边和相等；
（3）根据O到AB的距离等于O到DE的距离，即可得到答案；
（4）由勾股定理求出AB=2
| 2 |
| 2 |
解答：（1）答：一个有内心的四边形是菱形．
（2）答：对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备条件是对边和相等．
（3）解：有无数条，
作△ABC的内切圆，切AC、BC于M、N，在弧MN 上任取一点作内切圆圆的切线，即为裁剪线．
（4）
解：等腰直角△ACB，AC=BC=2，由勾股定理得：AB=2
，
过D作DF⊥AB于F，过E作EQ⊥AB于Q，
∴DF∥EQ，
∵DE∥AB，
∴四边形DEQF是平行四边形，
∴DE=FQ，DF=EQ，
∵∠A=∠B=45°，
∴AF=DF，
同理BQ=QE，
设DE=x，AB=2
，过C作CM⊥BC，交DE与N点，
由BC=AC，根据三线合一可得CM=
，
由三角形的面积有两种求法，S=
AC•BC=
（AC+BC+AB）•OM，
即4=（2+2+2
）×OM，解得：OM=2-
，
∴NM=2OM=4-2
，CN=
-（4-2
）=3
-4，
又△CDE∽△CAB，
∴
=
，即
=
，
解得：x=6
-8，
则DE=6
-8．
（2）答：对于任意四边形ABCD，如果有内心，则四边形的边长具备条件是对边和相等．
（3）解：有无数条，作△ABC的内切圆，切AC、BC于M、N，在弧MN 上任取一点作内切圆圆的切线，即为裁剪线．
（4）
解：等腰直角△ACB，AC=BC=2，由勾股定理得：AB=2
| 2 |
过D作DF⊥AB于F，过E作EQ⊥AB于Q，
∴DF∥EQ，
∵DE∥AB，
∴四边形DEQF是平行四边形，
∴DE=FQ，DF=EQ，
∵∠A=∠B=45°，
∴AF=DF，
同理BQ=QE，
设DE=x，AB=2
| 2 |
由BC=AC，根据三线合一可得CM=
| 2 |
由三角形的面积有两种求法，S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
即4=（2+2+2
| 2 |
| 2 |
∴NM=2OM=4-2
| 2 |
| 2 |
| 2 |
| 2 |
又△CDE∽△CAB，
∴
| DE |
| AB |
| CN |
| CM |
| x | ||
2
|
3
| ||
|
解得：x=6
| 2 |
则DE=6
| 2 |
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，三角形的内切圆与内心，等腰题型的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定难度．
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