Question

（2012•宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；
（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，易证得∠CEM=∠BAE，则可证得：△ABE∽△ECM；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；
（3）首先设BE=x，由△ABE∽△ECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，继而求得重叠部分的面积．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；

（2）能．
解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC-EC=6-5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴

CE

AC

=

AC

CB

，
∴CE=

AC2

CB

=

25

6

，
∴BE=6-

25

6

=

11

6

；
若AE=AM，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0．
∴BE=1或

11

6

或0．

（3）解：设BE=x，
又∵△ABE∽△ECM，
∴

CM

BE

=

CE

AB

，
即：

CM

x

=

6-x

5

，
∴CM=-

x2

5

+

6

5

x=-

1

5

（x-3）²+

9

5

，
∴AM=5-CM═

1

5

（x-3）²+

16

5

，
∴当x=3时，AM最短为

16

5

，
又∵当BE=x=3=

1

2

BC时，
∴点E为BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE=

AB2-BE2

=4，
此时，EF⊥AC，
∴EM=

CE2-CM2

=

12

5

，
S_△AEM=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．