Question

如图，梯形ANBC中，AN‖BC，且BC=2NA，∠NBC=90°，⊙O过A、B、C三点，直径BE交AC于M，交NA的延长线于D．
（1）求证：AB=AC；
（2）若

EM

OM

=

3

2

，求tan∠D的值．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）首先连接AB，过点A作AF⊥BC于点F，得出四边形ANBF是矩形，进而得出BF=CF=AN，则AF垂直平分BC，即可得出答案；
（2）首先证明AF过点O，进而得出△EMC∽OMA，即可得出EC与BE的关系，进而求出tan∠D的值．

解答：（1）证明：连接AB，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AN‖BC，∠NBC=90°，AF⊥BC，
∴四边形ANBF是矩形，
∴AN=BF，
∵BC=2NA，
∴BF=CF=AN，
∴AF垂直平分BC，
∴AB=AC；

（2）解：连接EC，
∵AF垂直平分BC，∴AF必过点O，
∵BE是⊙O直径，
∴∠BCE=90°，
∵AF⊥BC，
∴AF∥EC，
∴△EMC∽OMA，
∴

EM

MO

=

EC

AO

=

3

2

，
设EC=3x，AO=2x，
∴BE=4x，
∴BC=

16x2-9x2

=

7

x，
∴tan∠D=tan∠DBC=

EC

BC

=

3x

7 x

=

3 7

7

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和垂径定理的推论、矩形的判定与性质等知识，根据已知得出EC与BE的关系是解题关键．