Question

【题目】如图①，在矩形中，动点从点出发，以2cm/s的速度沿向终点移动，设移动时间为t(s).连接，以为一边作正方形，连接、.设的面积为(cm2). 与t之间的函数关系如图②所示.

(1) cm， cm;

(2) 点从点到点的移动过程中，点的路径是_________________ cm.

(3)当为何值时，的面积最小?并求出这个最小值;

(4) 当为何值时，为等腰三角形?请直接写出结果。

Answer 1

【答案】（1）4,10； (2)10； (3)当t=4时，最小值为6；（4）t=1，3，4 .

【解析】

（1）根据图②三角形PCD的面积，可得矩形的长和宽；

（2）由题意得：AP=t，PD=5-t，根据三角形面积公式可得y与t的关系式，由图②得：S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，代入可得结论；

（3）当△DEF为等腰三角形时，分三种情况进行讨论，根据全等三角形的性质计算PD和AP的长，可得t的值．

（1）由图②知：AD=5，

当t=0时，P与A重合，y=×AD×CD=5，

×5×CD=5，

CD=2cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=2cm，

故答案为：2，5；

（2）由题意得：AP=t，PD=5-t，

∴y=CDPD=2(5t)=5-t，

∵四边形EFPC是正方形，

∴S△DEF+S△PDC=S正方形EFPC，

∵PC2=PD2+CD2，

∴PC2=22+（5-t）2=t2-10t+29，

∴S△DEF=（t2-10t+29）-（5-t）=t2-4t+=（t-4）2+，

当t为4时，△DEF的面积最小，且最小值为；

（3）当△DEF为等腰三角形时，分三种情况：

①当FD=FE时，如下图所示，过F作FG⊥AD于G，

∵四边形EFPC是正方形，

∴PF=EF=PC，∠FPC=90°，

∴PF=FD，

∵FG⊥PD，

∴PG=DG=PD，

∵∠FPG+∠CPD=∠CPD+∠DCP=90°，

∴∠FPG=∠DCP，

∵∠FGP=∠PDC=90°，

∴△FPG≌△PDC（AAS），

∴PG=DC=2，

∴PD=4，

∴AP=5-4=1，

即t=1；

②当DE=D时，如下图所示，E在AD的延长线上，此时正方形EFPC是正方形，PD=CD=2

∴AP=t=5-2=3

③当DE=EF时，如下图所示，过E作EG⊥CD于G，

∵FE=DE=EC，

∴CG=DG=CD=1，

同理得：△PDC≌△CGE（AAS），

∴PD=CG=1，

∴AP=t=5-1=4，

综上，当t=1s或3s或4s时，△DEF为等腰三角形．