Question

【题目】将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，

（1）求证：四边形AECF为菱形；

（2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长；

（3）在（2）的条件下折痕EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见试题解析（2）5（3）2．

【解析】

试题（1）根据折叠的性质得OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，再利用AD∥AC得到∠FAC=∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF=OE，加上OA=OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形；

（2）设菱形的边长为x，则BE=BC﹣CE=8﹣x，AE=x，在Rt△ABE中根据勾股定理得（8﹣x）2+42=x2，然后解方程即可得到菱形的边长；

（3）先在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AC=4，则OA=AC=2，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理计算出OE=，所以EF=2OE=2．

试题解析：（1）证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，∴OA=OC，EF⊥AC，EA=EC，

∵AD∥AC，∴∠FAC=∠ECA，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE，

∴OF=OE，∵OA=OC，AC⊥EF，

∴四边形AECF为菱形；

（2）解：设菱形的边长为x，则BE=BC﹣CE=8﹣x，AE=x，

在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，

∴（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，

即菱形的边长为5；

（3）解：在Rt△ABC中，AC===4，

∴OA=AC=2，

在Rt△AOE中，OE===，

∴EF=2OE=2．