Question

（2011•聊城）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm²）
（1）当t=1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）当t=1时，根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，可求出S和t的关系．
（2）根据点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S，求出S和t的关系式．
（3）两边对应成比例夹角相等的三角形是相似三角形可求出解．

解答：解：（1）如图1，当t=1秒时，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2----------（1分）

由S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG----------（2分）
=

1

2

×(EB+CG)•BC-

1

2

EB•BF-

1

2

FC•CG
=

1

2

×（10+2）×8-

1

2

×10×4-

1

2

×4×2
=24（cm²）----------（3分）

（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE=2t，EB=12-2t，BF=4t，FC=8-4t，CG=2t
S=S_梯形GCBE-S_△EBF-S_△FCG 
=

1

2

×（EB+CG）•BC-

1

2

EB•BF-

1

2

FC•CG
=

1

2

×8×（12-2t+2t）-

1

2

×4t（12-2t）-

1

2

×2t（8-4t）
=8t²-32t+48．----------（4分）
②如图2，当点F追上点G时，4t=2t+8，解得t=4----------（5分）
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF=4t-8，CG=2t
FG=CG-CF=2t-（4t-8）=8-2t
S=

1

2

FG•BC=

1

2

（8-2t）•8=-8t+32．
即S=-8t+32----------（6分）

（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，0≤t≤2
在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°
1若

EB

FC

=

BF

CG

，即

12-2t

8-4t

=

4t

2t

，
解得t=

2

3

．
又t=

2

3

满足0≤t≤2，所以当t=

2

3

时，△EBF∽△FCG----------（7分）
2若

EB

GC

=

BF

CF

即

12-2t

2t

=

4t

8-4t

，解得t=

3

2

．
又t=

3

2

满足0≤t≤2，所以当t=

3

2

时，△EBF∽△GCF----------（8分）
综上所述，当t=

2

3

或t=

3

2

时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．

点评：本题考查了相似三角形的判定定理，一次函数的应用和三角形的面积以及矩形的性质等知识点．