Question

求根式

2- 2+ 2- 2+ …

的值．

Answer 1

分析：用构造方程的方法来解．设原式为x，两边平方，得2-

2- 2+ 2- 2+ …

=x²，即2-

2+x

=x²，问题转化为解无理方程求解．

解答：解：设

2- 2+ 2- 2+ …

=x，
则

2- 2+x

=x，
两边平方得2-

2+x

=x²，
即2-x²=

2+x

，
两边再平方得
x⁴-4x²+4=2+x，所以x⁴-4x²-x+2=0．
观察发现，当x=-1，2时，方程成立．
因此，方程左端必有因式（x+1）（x-2），将方程左端因式分解，有
（x+1）（x-2）（x²+x-1）=0．
∴x=-1，x=2，x=

-1± 5

2

；
又∵0＜x＜2，
∴x=-1，x=2，x=

-1- 5

2

应舍去，
∴x=

5 -1

2

，
即：原式=

5 -1

2

．

点评：本题考查了二次根式的化简计算的特殊方法，根据所求式子的无限性，把问题转化为无理方程求解是解题的关键．