Question

【题目】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；

（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）最大值为10

（3）故点P坐标为：或或．

【解析】

（1）二次函数表达式为：，将点B的坐标代入上式，即可求解；

（2）矩形MNHG的周长，即可求解；

（3），解得：，即可求解．

（1）二次函数表达式为：，

将点B的坐标代入上式得：，解得：，

故函数表达式为：…①；

（2）设点M的坐标为，则点，

则，，

矩形MNHG的周长，

∵，故当，C有最大值，最大值为10，

此时，点与点D重合；

（3）的面积是矩形MNHG面积的，

则，

连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，

过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即，

过点P作于点K，

将、坐标代入一次函数表达式并解得：

直线CD的表达式为：，

，∴，，

设点，则点，

，

解得：，

则，

解得：，

故点，

直线n的表达式为：…②，

联立①②并解得：，

即点、的坐标分别为、；

故点P坐标为：或或．