Question

如图，已知抛物线y=-

4

9

x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1．
（1）填空：b=

 

，c=

 

，点B的坐标为（

 

，

 

）：
（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；
（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴和OA=1求出A、B的坐标，代入解析式求出b、c即可；
（2）求出C（2，4）求得E的坐标为（3.5，2）和直线BC的表达式为y=-

4

3

x+

30

3

，设直线EF的表达式为y=kx+b，根据EF为BC的中垂线求出k=

3

4

和b=-

5

8

推出直线EF的表达式为y=

3

4

x-

5

8

，令y=0，得x=

5

6

即可求出答案；
（3）作∠OBC的平分线交DC于点P，设P（2，a），根据抛物线解析式求出顶点C的坐标与点B的坐标，然后利用∠BCD的正弦列式即可求解．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

4

9

x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1，
∴A（-1，0），B（5，0），
代入解析式得：

- b - 8 9 =2 0=- 4 9 -b+c

，
解得：b=

16

9

，c=

20

9

，
故答案为：

16

9

，

20

9

，5，0．

（2）由（1）求得y=-

4

9

x2+

16

9

x+

20

9

=-

4

9

(x-2)2+4，
∴C（2，4）
∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2），
直线BC的表达式为y=-

4

3

x+

20

3

，
整理得4x+3y-20=0
设直线EF的表达式为y=kx+b（k≠0），
∵EF为BC的中垂线，
∴EF⊥BC，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积是-1，
∴k=

3

4

，
把E（3.5，2）代入求得b=-

5

8

，
∴直线EF的表达式为y=

3

4

x-

5

8

，
在y=

3

4

x-

5

8

中，令y=0，得x=

5

6

，
∴F（

5

6

，0），
∴FC=FB=5-

5

6

=

25

6

，
答：FC的长是

25

6

．
（3）存在．
作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件，
设P（2，a），则P到x轴的距离为等于P到直线BC的距离，都是|a|，
∵抛物线解析式是y=-

4

9

（x-2）²+4，
∴点C的坐标是（2，4），
又∵点B的坐标是（5，0），
∴CD=4，DB=5-2=3，
∴BC=

CD2+DB2

=

42+32

=5，
∵⊙P与x轴、直线BC都相切，
∴∠CEP=∠CDB=90°，
∴∠PCE+∠CPE=90°，∠CBA+∠CPE=90°，
∴∠CPE=∠CBA，
∴sin∠BCD=

a

4-a

=

3

5

，
解得：a=

3

2

，
当P在x轴的下方时，同法得出

-a

4-a

=

3

5

，
解得：a=-6，
∴点P的坐标是P（2，-6）或P（2，

3

2

）．
答：在抛物线的对称轴上存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切，点P的坐标是（2，-6），（2，

3

2

）．

点评：本题主要考查对解二元一次方程组，二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，线段的垂直平分线定理等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．