Question

如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高线，要使△ACD的面积是△ABC和△ABD面积的比例中项，请你添加一个适当的条件：________．

Answer 1

此题答案不唯一：如①AB=CD；②AC²=AB•BC；③AD²=BD．AB④CD²=AC•AD；⑤AB²=AD•AC；⑥CD²=BC•BD等
分析：由AD是Rt△ABC的斜边BC上的高线，即可得S_△ABC=AB•AC=BC•AD，S_△ABD=AD•BD，S_△ACD=AD•CD，然后由要使△ACD的面积是△ABC和△ABD面积的比例中项，根据比例中项的性质，即可求得答案．
解答：∵AD是Rt△ABC的斜边BC上的高线，
∴S_△ABC=AB•AC=BC•AD，S_△ABD=AD•BD，S_△ACD=AD•CD，
∵要使△ACD的面积是△ABC和△ABD面积的比例中项，
即S_△ACD²=S_△ABC•S_△ABD，
∴（AD•CD）²=AD•BC•AD•BD，
∴⑥CD²=BC•BD；
∵AB²=BC•BD，
∴①AB=CD；
∵AD²=BD•CD，AC²=BC•CD，
∴③AD²=BD•AB，②AC²=AB•BC；
∵（AD•CD）²=AB•AC•AD•BD，AD²=BD•AB，
∴④CD²=AC•AD；
∴⑤AB²=AD•AC；
有多种答案，如①AB=CD；②AC²=AB•BC；③AD²=BD•AB④CD²=AC•AD；⑤AB²=AD•AC；⑥CD²=BC•BD等等．
故答案为：①AB=CD；②AC²=AB•BC；③AD²=BD．AB④CD²=AC•AD；⑤AB²=AD•AC；⑥CD²=BC•BD．
点评：此题考查了直角三角形面积的求解方法与比例中项的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用与比例变形．