Question

如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于________．

Answer 1

分析：连接EG、FH，易证得△AEF≌△CHG，△FHD≌△GEB，即可得FH=EG、EF=GH，由此可证得四边形EFHG是平行四边形，可过P作EF、GH的垂线，可发现所求的两个三角形的面积和实际等于平行四边形EFHG面积的一半，按此思路进行求解即可．
解答：解：连接FH、EG；
∵AF=CG=2，AE=CH=4-1=3，∠A=∠C=90°，
∴△AEF≌△CHG，S_△AEF=S_△CHG=3；
同理可证：△FHD≌△GEB，S_△FHD=S_△GEB=1.5；
∴FH=EG，EF=GH，即四边形EFHG是平行四边形；
且S_{平行四边形}=S_矩形-2S_△AEF-2S_△FHD=11；
过P作EF、GH的垂线，交EF于M，GH于N；
则S_△EFP+S_△GHP=EF（PM+PN）=EF•MN=S_?EFHG=．
故答案为：．
点评：此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及图形面积的求法，能够判断出四边形EFHG是平行四边形是解答此题的关键所在．