Question

如图1，点C、B分别为抛物线C₁：y₁=x²+1，抛物线C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C₁、C₂于点A、D，且AB=BD．
【小题1】求点A的坐标：
【小题2】如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他条件不变，求CD的长和a₂的值；
【小题3】如图2，若将抛物线C₁：“y₁=x²+1”改为抛物线“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他条件不变，求b₁+b₂的值　2　（直接写结果）．

Answer 1

【小题1】如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，
∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C₁、C₂的顶点，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACE=30°，
设AE=m，
则CE=AE=m，
∵y₁=x²+1，
∴点C的坐标为（0，1），
∴点A的坐标为（﹣m，1+m），
∵点A在抛物线C₁上，
∴（﹣m）²+1=1+m，
整理得m²﹣m=0，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
∴点A的坐标为（﹣，4）；（3分）
【小题2】如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，
设抛物线y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x﹣h₁）²+k₁，
∴点C的坐标为（h₁，k₁），
设AE=m，
∴CE=m，
∴点A的坐标为（h₁﹣m，k₁+m），
∵点A在抛物线y₁=2（x﹣h₁）²+k₁上，
∴2（h₁﹣m﹣h₁）²+k₁=k₁+m，
整理得，2m²=m，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=，
∴CD=，
即CD的长为，
根据题意得，CE=BC=×=，
∴点B的坐标为（h₁+，k₁+），
又∵点B是抛物线C₂的顶点，
∴y₂=a₂（x﹣h₁﹣）²+k₁+，
∵抛物线C₂过点C（h₁，k₁），
∴a₂（h₁﹣h₁﹣）²+k₁+=k₁，
整理得a₂=﹣，
解得a₂=﹣2，
即a₂的值为﹣2；（3分）
【小题3】根据（2）的结论，a₂=﹣a₁，
CD=﹣﹣（﹣）=+=，
根据（1）（2）的求解，CD=2×，
∴b₁+b₂=2．（4分）

解析