Question

（2013•温州二模）已知，如图双曲线y=

4

x

（x＞0）与直线EF交于点A、点B，且AE=AB=BF，连结AO、BO，它们分别与双曲线y=

2

x

（x＞0）交于点C、点D，则四边形ABCD的面积为

3

2

．

Answer 1

分析：首先过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，由双曲线y=

4

x

（x＞0）与直线EF交于点A、点B，且AE=AB=BF，可设点A的坐标为：（m，

4

m

），得到点B的坐标为：（2m，

2

m

），则可由S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN，求得△AOB的面积，易得△ODH∽△OBN，可得（

OD

OB

）²=

2

4

=

1

2

，继而可得

OC

OA

=

OD

OB

，则可证得△COD∽△AOB，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案．

解答：解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，过点D作DH⊥x轴于点H，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴AM∥DH∥BN∥y轴，
设点A的坐标为：（m，

4

m

），
∵AE=AB=BF，
∴OM=MN=BN，
∴点B的坐标为：（2m，

2

m

），
∴S_△OAB=S_△OAM+S_梯形AMNB-S_△OBN=2+

1

2

×（

2

m

+

6

m

）×（2m-m）-2=3，
∵DH∥BN，
∴△ODH∽△OBN，
∴

OD

OB

=

DH

BN

=

OH

ON

，
∵DH•OH=2，BN•ON=4，
∴（

OD

OB

）²=

2

4

=

1

2

，
同理：（

OC

OA

）²=

1

2

，
∴

OC

OA

=

OD

OB

，
∵∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△AOB，
∴

S△COD

S△AOB

=(

OD

OB

)2=

1

2

，
∴S_△COD=

3

2

，
∴S_{四边形ABDC}=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：此题考查了反比例函数中k的几何意义以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．