Question

如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，），以点C为顶点的抛物线恰好经过轴上A、B两点。

（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位？

Answer 1

解：（1）由抛物线的对称性可知AM=BM， 在Rt△AOD和Rt△BMC中， ∵OD=MC，AD=BC， ∴△AOD≌△BMC， ∴OA=MB=MA， 设菱形的边长为2m， 在Rt△AOD中， ， 解得m=1， ∴DC=2，OA=1，OB=3， ∴A、B、C三点的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（2，）； （2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+，代入A点坐标可得a=-， 抛物线的解析式为y=-（x-2）2+；  （3）设抛物线的解析式为y=-（x-2）2+k 代入D（0，）可得k=5， 所以平移后的抛物线的解析式为y=-（x-2）2+5， 平移了5-=4个单位。