Question

已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF。
（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；
（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；
（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积。

Answer 1

解：（1）∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG， ∴AG=AD，AE=AB，∠GAD=∠EAB=α， ∵四边形AEFG是菱形， ∴AD=AB， ∴AG=AE， ∴△AGD≌△AEG；
（2）如图（1），当α=60°时，AE与AD重合， 作DH⊥CF于H， 由已知可得∠CDF=120°，DF=DC=5， ∴∠CDH=∠CDF=60°，CH=CF， 在Rt△CDH中， ∵CH=DCsin60°=5×， ∴CF=2CH=5；	（1）
（3）如图（2），当∠CEF=90°时， 延长CE交AG于M，连接AC， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∵∠CEF=90°， ∴∠GME=90°， ∴∠AME=90°， 在Rt△AME中，AE=5，∠MAE=60°， ∴AM=AEcos60°=，EM=AEsin60°=， 在Rt△AMC中，易求AC=5， ∴， ∴EC=MC-ME=， ∴S△CEF=·EC·EF=。	（2）