Question

某班同学到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了几种方案，下面介绍两种：(Ⅰ)如图(1)，先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，并分别延长AC到D，BC到E，使DC＝AC，BC＝EC，最后测出DE的距离即为AB的长．(Ⅱ)如图(2)，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离．阅读后回答下列问题：

(1)方案(Ⅰ)是否可行？为什么？

(2)方案(Ⅱ)是否切实可行？为什么？

(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是________；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案(Ⅱ)是否成立？

(4)方案(Ⅱ)中，若使BC＝n·CD，能否测得(或求出)AB的长？理由是________，若ED＝m，则AB＝________．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)方案(I)可行； 　　∵DC＝AC，EC＝BC且有对顶角∠ACB＝∠DCE， 　　∴△ACB≌△DCE(SAS)，∴AB＝DE， 　　∴测出DE的距离即为AB的长．故方案(I)可行．(3分) 　　(2)方案(Ⅱ)可行； 　　∵AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 　　又∵BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC≌△EDC，∴AB＝ED， 　　∴测出DE的长即为AB的距离．故方案(Ⅱ)可行．(6分) 　　(3)方案(Ⅱ)中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是作直角三角形； 　　若∠ABD＝∠BDE≠90°，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC， 　　∴，∴只要测出ED、BC、CD的长，即可求得AB的长． 　　∴ED的长不等于AB的长，∴方案(Ⅱ)不成立．(9分) 　　(4)根据(3)中所求可以得出，∴，∵BC＝n·CD， 　　∴ABED＝n，求出DE即可得出答案， 　　当ED＝m，则AB＝mn．(12分)