题目内容

如图，点A、E是⊙O上的点，等边△ABC的边BC与Rt△CDE的边CD都在⊙O的直径MN上，且O为BC的中点，DE⊥CD，CE∥AB，若CD=1，则⊙O的半径为

A.
$数学公式$
B.
2 $数学公式$
C.
2 $数学公式$
D.
4

C
分析：延长ED交⊙O于点F，连接OA，OF，由平行线的性质可知∠ECD=60°，故在Rt△ECD中可求出EN的长，再由垂径定理可得出ED=DF，由等边三角形的性质可知AO⊥MN，∠OAC=30°，OA=r，可用r表示出OC的长，在Rt△ODF中，利用勾股定理即可求出r的长．
解答：

解：延长ED交⊙O于点F，连接OA，OF，
∵DE⊥CD，CE∥AB，CD=1，
∴∠ECD=60°，∠CED=30°，
∴CE=2CD=2，
∴ED= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DF=ED= $\text{[math]}$ ，
∵△ABC是等边三角形，O为BC的中点，
∴AO⊥MN，
∴∠OAC=30°，
设OA=r，则OC= $\text{[math]}$ ，
在Rt△ODF中，
OF²=DF²+OD²，即r²=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ +1）²，解得r=2 $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查的是垂径定理、勾股定理及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．