Question

【题目】 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点．

（1）若四边形OABC为长方形，如图1，

①求点B的坐标；

②若BQ=BP，且点B1落在AC上，求点B1的坐标；

（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC，边OC分别交于点E，点F．若B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标（用含m的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）①B（4，2）；②B1（，）；（2）或．

【解析】

（1）①根据矩形的性质，求出，的长度即可求出点的坐标；

②先利用待定系数法求直线的解析式，再根据的位置特点表示坐标，最后将所表示的坐标代入直线的解析式求解即得；

（2）分两种情形：当点在线段的延长线上时，延长与轴交于点；当点在线段（除点，外）上时，延长与轴交于点，再根据点B1的横坐标为m列出关于FG的方程并分别求解即可．

解：（1）①∵，，四边形是矩形

∴，，

∵在第一象限

∴

②设

则

如下图：设直线的解析式是

∵，

∴，

把,代入得：

解得：

∴直线的解析式是

把代入得：

解得：

∴即

（2）在上取中点，连接，过作于点

∵，，

∴

∴是等边三角形

∴，

∴在中，，，

∴

∵B1F∥x轴

∴

当点在线段的延长线上时，如下图：延长与轴交于点

∵

∴

设，则

∴，

∴

∵

∴

解得：

∵在中，

∴点的纵坐标为．

当点在线段（除点，外）上时，如下图：延长与轴交于点

∵

∴

设，则

∴，

∴

∵

∴

解得：

∵在中，

∴点的纵坐标为．

综上所述，满足条件的的纵坐标为或．