Question

【题目】在平面直角坐标系中，点是轴上一点，其坐标为，点在轴的正半轴上.点，均在线段上，点的横坐标为，点的横坐标大于，在中，若轴，轴， 则称为点，的“肩三角形.

(1)若点坐标为， 且，则点，的“肩三角形”的面积为__ ；

(2)当点，的“肩三角形”是等腰三角形时，求点的坐标；

(3)在(2)的条件下，作过，，三点的抛物线.

①若点必为抛物线上一点，求点，的“肩三角形”面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

②当点，的“肩三角形”面积为3，且抛物线与点，的“肩三角形”恰有两个交点时，直接写出的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）点的坐标为；（3）①；②或.

【解析】

（1）待定系数法求直线AB解析式，根据点P，B的“肩三角形”新定义即可求得面积；

（2）根据等腰三角形性质和平行线性质即可求得点B的坐标；

（3）①先求得线段AB的表达式，设点P的坐标为，根据抛物线.经过O，B两点，可得点M的坐标为，再求得PM，即可得S与m的函数关系式；②分两种情况：当点P在对称轴左侧，即m<3时；当点P在对称轴上或对称轴右侧，即时，分别求得m的取值范围即可．

解：（1）如图1，∵，，

∴直线解析式为

∵

∴

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴点，的“肩三角形”的面积；

（2）如图2，根据题意，得，，

∴，

∴

∴，

∴点的坐标为；

（3）如3，①首先，确定自变量取值范围为，

由（2）易得，线段的表达式为，

∴点的坐标为，

∵抛物线经过点，两点，

∴抛物线的对称轴为直线，

∴点的坐标为，

∴，

；

②当点在对称轴左侧，即时，∵点，的“肩三角形”面积为3，

由①得：，

解得：

当点在对称轴上或对称轴右侧，即时，

∴，

∵抛物线与点，的“肩三角形”恰有两个交点

∴，解得：

综上所述，的取值范围为：或.