Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上一个动点，D为BC上的一点，且PB＝PD，DE⊥AC于E．(1)求证：PE＝BO；(2)设AC＝2a，AP＝x，四边形PBDE的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AC中点，∴BO⊥AC，BO＝CO＝AC，∴∠C＝∠OBC＝45°，又∵DE⊥AC，BO⊥AC，∴BO∥DE，又∵PB＝PD，∴∠PBD＝∠PDB，∠PBO＝∠PBD－∠OBC＝∠PDB－∠C＝∠DPE，∴Rt△PBO≌Rt△DPE，∴PE＝BO;(2)∵AC＝2a，AP＝x，∴AO＝BO＝PE＝a，∴DE＝PO＝EC＝a－x，EO＝x，∴y＝S△PBO＋S梯BDEO＝a(a－x)＋(2a－x)·x＝－x2＋ax＋a2　∴0＜x＜a